Project 42
Ρευστά σε ισορροπία
1.Θεωρητικό Μέρος
Η Έννοια Πίεση
Οποιαδήποτε επιφάνεια βρεθεί σε επαφή με ένα ρευστό δέχεται δύναμη.Η πίεση επομένως είναι η αιτία που τα ρευστά ασκούν δύναμη σε μια οποιαδήποτε επιφάνεια βρεθεί μέσα σε αυτά. Η δύναμη αυτή πάντα "σπρώχνει" και είναι κάθετη στην επιφάνεια (σχ. 1). Η πίεση σε ένα σημείο ενός ρευστού ορίζεται μέσω της παρακάτω εξίσωσης
Βασική εξίσωση της υδροστατικής
Για να υπολογίσουμε την πίεση που επικρατεί σε ένα σημείο στο εσωτερικό ενός ρευστού που βρίσκεται σε ισορροπία εργαζόμαστε ως εξής. Απομονώνουμε νοητά ένα κύλινδρο ύψους h από το ίδιο το ρευστό το οποίο βρίσκεται σε ισορροπία. Στην στήλη αυτήν ενεργούν μια δύναμη F1 από το υπόλοιπο ρευστό στην πάνω επιφάνειά του, το βάρος w της στήλης και μια δύναμη F2 πάλι από το ρευστό αλλά τώρα στην κάτω επιφάνειά της στήλης. Υπάρχουν βέβαια δυνάμεις και στα πλευρικά τοιχώματα οι οποίες έχουν συνισταμένη μηδέν και θα ασχοληθούμε με αυτές λίγο παρακάτω. Η στήλη αυτή του υγρού ισορροπεί άρα σύμφωνα με τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα ισχύει
Επεκτείνοντας τον παραπάνω συλλογισμό μπορούμε να καταλήξουμε πως η εξίσωση p2=p1+ρgh ισχύει για δύο οποιαδήποτε σημεία ενός ρευστού που ισορροπεί και δεν χρειάζεται αναγκαστικά το ένα να είναι κάτω από άλλο αρκεί να είναι σημεία του ίδιου ρευστού. Η διαφορά πίεσης μεταξύ δυο σημείων ενός υγρού που ισορροπεί είναι ίση με τον παράγοντα ρgh (σχ. 3α,β,γ).
Την δύναμη θα την δεχθεί ακόμη και αν από πάνω της έχει ελάχιστο ρευστό. Για παράδειγμα τα δύο κυβάκια του σχήματος δέχονται την ίδια δύναμη από το ρευστό, ίση με F=pA. Το ένα κυβάκι έχει μια στήλη ρευστού από πάνω του ενω το άλλο σχεδόν τίποτε δέχεται όμως ακριβώς την ίδια δύναμη. Το υγρό εξαιτίας της πίεσης σπρώχνει όχι μόνο προς τα κάτω αλλά και προς τα πάνω, αριστερά, δεξιά και γενικά προς όλες τις κατευθύνσεις.
Παρατηρήσεις
Όταν το ρευστό ισορροπεί:
1. Αν h=0 τότε p1=p2. Δηλαδή αν δύο σημεία βρίσκονται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο τότε έχουν την ίδια πίεση.
2. Αν δύο σημεία έχουν την ίδια πίεση p1=p2 τότε ρgh=0 που σημαίνει ή g=0 ή h=0. Δηλαδή αν δύο σημεία έχουν την ίδια πίεση τότε θα βρίσκονται είτε εκτός πεδίου βαρύτητας είτε στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο.
3. Επειδή p2−p1=ρgh=σταθερό συμπεραίνουμε πως αν για κάποιο λόγο μεταβληθεί η πίεση σε κάποιο σημείο θα πρέπει να μεταβληθεί και η πίεση οποιοδήποτε άλλου σημείου κατά το ίδιο ποσό. Το παραπάνω συμπέρασμα αποτελεί την αρχή μεταδόσεων των πιέσεων στα ρευστά (αρχή του Pascal).
4. Πολλές φορές προκειμένου να βρούμε την πίεση στο σημείο 2 εντοπίζουμε ένα άλλο σημείο 3 που βρίσκεται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο και αυτό το σημείο έχει από πάνω του μια στήλη ύψους h και με αυτόν τον τρόπο αισθανόμαστε μεγαλύτερη ασφάλεια όταν γράφουμε την εξίσωση p2=p1+ρgh (σχ. 5α). Η διαδικασία αυτήν δεν είναι λανθασμένη και αν σας βοηθάει κρατήστε την, όμως να έχετε στο βάθος του μυαλού σας πως μπορεί να υπάρξουν περιπτώσεις στις οποίες δεν μπορείται να βρείτε ένα τέτοιο ενδιάμεσο σημείο πχ στο (σχ. 5β). Σε τέτοιες περιπτώσεις απλά εφαρμόζουμε την εξίσωση μεταξύ των σημείων 1και 2.
H Ατσμοφαιρική Πίεση
Ο ατμοσφαιρικός αέρας (όπως και κάθε αέριο) έχει και αυτός πίεση. Υπάρχει μια μικρή διαφορα μπορούμε να πούμε πως οι δυνάμεις από τα υγρά προέρχονται από "επαφή" ενώ στα αέρια λόγω των συγκρούσεων των μορίων με την επιφάνεια. Ισχύει όμως και για τα αέρια η ίδια εξίσωση p2=p1+ρgh όμως οι πυκνότητες των αεριών είναι 1000 φορές μικρότερες από αυτές των υγρών με αποτέλεσμα για μικρά ύψη η διαφορά στην πίεση να είναι αμελητέα. Οπότε για ένα αέριο μέσα σε ένα δοχείο θα θεωρούμε την πίεση του παντού την ίδια ακόμη και αν υπάρχει υψομετρική διαφορά. Για μεγάλες διαφορές υψών π.χ. στην επιφάνεια της θάλασσας και σε ένα βουνό η πίεση δεν είναι η ίδια και εξαρτάται από την θερμοκρασία και την πυκνότητα του αέρα.
Η πίεση στην ελεύθερη επιφάνεια ενός ρευστού
Ας θεωρήσουμε ένα φύλο χαρτιού (αμελητέου βάρους) πάνω στην ελεύθερη επιφάνεια ενός ρευστού τότε το χαρτί ισορροπεί.Αυτό σημαίνει ότι η συνισταμένη δύναμη που δέχεται είναι μηδέν. Οι δυνάμεις που δέχεται είναι μια από την ατμοσφαιρικό αέρα και μια από το ρευστό.
Η πίεση κάποιου σημείου στο εσωτερικό ενός ρευστού
Α. Αν η επιφάνεια του ρευστού βρίσκεται σε επαφή με τον ατμοσφαιρικό αέρα
Ας θεωρήσουμε τώρα ένα σημείο στην επιφάνεια ενός υγρού (σημείο 1) και ένα σημείο σε βάθος h από την ελεύθερη επιφάνεια (σημείο 2).
Για τα σημεία 1 και 2 ισχύει p2=p1+ρgh. Όμως p1=patm έτσι τελικά p=patm+ρgh
Β. Αν η ελεύθερη επιφάνεια ενός ρευστού κλείνεται με ένα έμβολο.
Αρχικά θα βρούμε την πίεση του ρευστού σε σημεία αμέσως κάτω από το έμβολο. Το έμβολο ισορροπεί άρα
Η πίεση p του σημείου 2 θα είναι σύμφωνα με την βασική εξίσωση της υδροστατικής
2.Κατανόηση φαινομένων μέσω διαδραστικής εφαρμογής
Η εξήγηση
Η διάταξη του σχήματος χρησιμοποιείται για την μέτρηση της πίεσης στο σημείο που βρίσκεται η μανομετρική κάψα. Μεταξύ των σημείων 1,2 και 3,4 ισχύει
Όμως p2=p3 οπότε προκύπτει πως
3.Κατανόηση φαινομένων μέσω Πειραμάτων
Αρχή του Pascal-Υδραυλικό πιεστήριο.
Ρευστά σε ισορροπία.
Εξίσωση Bernoulli
1.Θεωρητικό Μέρος
Ορισμοί
Ιδανικό Ρευστό ονομάζεται το ρευστό που δεν παρουσιάζει τριβές με τα τοιχώματα του δοχείου ούτε εσωτερικές τριβές και είναι ασυμπίεστο.
Αν οι δυνάμεις τριβής υπερβούν κάποιο όριο τότε η ροή λέγεται τυρβώδης ή στροβιλώδης το ρευστό δημιουργεί δίνες.
Η ροή ενός ιδανικού ρευστού είναι στρωτή, δεν παρουσιάζει στροβίλους. Στην στρωτή ροή (στρωματική ροή) το ρευστό ρέει σε στρώματα (όπως φύλλα χαρτιού που γλυστράνε μεταξύ τους).
Δυνάμεις συνάφειας ονομάζονται οι δυνάμεις τριβής μεταξύ των τοιχωμάτων και του ρευστού.
Το σύνολο των θέσεων από τις οποίες περνά κάθε σωματίδιο του ρευστού στην διάρκεια της κίνησής του ορίζει μια γραμμή που την ονομάζουμε ρευματική γραμμή.
Μια ρευματική γραμμή είναι η τροχιά ενός σωματιδίου ρευστού, και η ταχύτητα του σωματιδίου είναι εφαπτόμενη της ρευματικής γραμμής.
Δύο ρευματικές γραμμές δεν μπορούν να τέμνονται
Αν από κάθε σημείο της περιφέρειας μιας επιφάνειας σχεδιάσουμε μια ρευματική γραμμή τότε σχηματίζεται ένος νοητός σωλήνας που ονομάζεται φλέβα.
Παροχή φλέβας :
Ορίζεται ως το πηλίκο του όγκου του ρευστού ΔV που περνάει μέσα από μια διατομή του σωλήνα ροής σε χρόνο Δt, προς το χρόνο αυτό.
Η παροχή μιας φλέβας ισούται με το γινόμενο του εμβαδού διατομής της φλέβας επί την ταχύτητα του ρευστού στη θέση αυτή. Μετριέται σε m^3/s στο SI.
Παρατήρηση:
Αν η παροχή είναι μεταβλητή τότε ο όγκος υπολογίζεται από το εμβαδόν της γραφικής παράστασης της παροχής σε συνάρτηση με τον χρόνο.
Εξίσωση συνέχειας:
Σε μια στρωτή ροή ενός ασυμπίεστου υγρού που ρέει σε σωλήνα μεταβλητής διατομής, ισχύει:
Α1υ1=Α2υ2
• Είναι συνέπεια της αρχής διατήρησης της ύλης, και δείχνει ότι η παροχή όγκου μέσα από ένα σωλήνα μεταβλητής διατομής είναι σταθερή. Διότι:
dm1=dm2→ ρdV1=ρdV2→A1dx1=A2dx2→A1υ1dt=Α2υ2dt→ Α1υ1=Α2υ2
Παροχή μάζας, dm/dt: Ο ρυθμός της διερχόμενης μάζας (kg/s) από μια διατομή ενός σωλήνα:
dm/dt = ρ dV/dt → dm/dt = ρ·Π
Εξίσωση Bernoulli:
Κατά μήκος μιας ρευματικής γραμμής το άθροισμα της πίεσης p, της κινητικής ενέργειας ανά μονάδα όγκου (½ρυ^2) και της δυναμικής ενέργειας ανά μονάδα όγκου (ρgy) διατηρείται σταθερό.
(p) η στατική πίεση, (½ρυ^2) η δυναμική πίεση και (ρgh) η υψομετρική πίεση.
Είναι συνέπεια της αρχής διατήρησης της ενέργειας.
Η εξίσωση του Bernoulli συσχετίζει την πίεση, την ταχύτητα ροής και το ύψος κατά μήκος μιας ρευματικής γραμμής.
Απόδειξη:
Αν γράψουμε το ΘΜΚΕ για μια στοιχειώδη μάζα, dm, όγκου dV που μετακινείται μέσα στο ρευστό και δέχεται τη συνισταμένη δύναμη F=F1−F2 που οφείλεται στη διαφορά πίεσης p1−p2 και την ωθεί προς τα πάνω και τη δύναμη του βάρους, dm·g. Το συνολικό έργο ισούται με τη μεταβολή της κινητικής ενέργειας:
• Αν ο σωλήνας είναι οριζόντιος η εξίσωση γράφεται:
Όπου οι ρευματικές γραμμές πυκνώνουν και η ταχύτητα αυξάνεται, η πίεση μειώνεται.
2.Κατανόηση φαινομένου μέσω διαδραστικής εφαρμογής
3.Κατανόηση φαινομένων μέσω Πειραμάτων
Το θεώρημα Torricelli
1.Θεωρητικό Μέρος - Το θεώρημα Torricelli
Στο σχήμα φαίνεται ένα δοχείο το οποίο περιέχει υγρό σε ύψος H να βρίσκεται πάνω σε ένα τραπέζι ύψους H1. Στο δοχείο έχει ανοιχθεί μια τρύπα σε ύψος h από την βάση του δοχείου εμβαδού A0. Το δοχείο είναι ανοιχτό και εκτεθειμένο στην ατμόσφαιρα. Το ζητούμενο είναι με ποια ταχύτητα εξέρχεται το υγρό από την οπή και σε πόση απόσταση φτάνει στο έδαφος. Αν εφαρμόσουμε την εξίσωση Bernoulli κατά μήκος της ρευματικής γραμμής του σχήματος και μεταξύ των σημείων (1) και (2) προκύπτει :
Η παραπάνω εξίσωση αποτελεί την εξίσωση Torricelli
Ένα σωματίδιο ρευστού που βγαίνει από την οπή έχει την παραπάνω ταχύτητα και εκτελεί οριζόντια βολή από ύψος H1+h. Ο χρόνος που χρειάζεται για να φτάσει στο έδαφος θα είναι :
και η οριζόντια απόσταση που φτάνει θα είναι :
2.Κατανόηση φαινομένου μέσω διαδραστικής εφαρμογής
3.Κατανόηση φαινομένων μέσω Πειραμάτων
Το ροόμετρο Ventouri
1.Θεωρητικό Μέρος - Το θεώρημα Torricelli
Είναι διάταξη με την οποία μετράμε την ταχύτητα ροής σε ένα σωλήνα μεταβλητής διατομής. Με τη βοήθεια δύο μανομέτρων Β και Γ που μετρούν τη διαφορά της πίεσης στη ροή των δύο σωλήνων. Αν είναι γνωστά τα εμβαδά διατομής Α1 και Α2 και η υψομετρική διαφορά h1−h2=h μεταξύ των δύο σταθμών των σωλήνων Β και Γ τότε με τη βοήθεια της εξίσωσης Bernoulli και της εξίσωσης της συνέχειας μπορούμε να υπολογίσουμε την ταχύτητα ροής σε κάποιο σημείο. Από τις εξισώσεις:
Bernoulli μεταξύ των σημείων (1) και (2) :
Τα μανόμετρα γράφουν :
Ο νόμος συνέχειας:
Από (1) με (2)(3) έχουμε:
